已知函数f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x2-2．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a=-1时，当且仅当x=1e2时，f（x）的最小值为-1e2，证明：对任意x∈（0，+

Question

已知函数f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=-1时，当且仅当x=(1)/(e2)时，f（x）的最小值为-(1)/(e2)，证明：对任意x∈（0，+∞），都有lnx+1>(1)/(ex)-(2)/(ex)成立．

Answer 1

（1）对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，也就是a≤lnx+x+(2)/(x)在x∈（0，+∞） 恒成立．
令F（x）=lnx+x+(2)/(x)，则F′（x）=(1)/(x)+1-(2)/(x2)=(x2+x-2)/(x2)=((x+2)(x-1))/(x2)…（3分）
在区间（0，1），F′（x）<0，在区间（1，+∞），F′（x）>0，
∴F（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3…（6分）
（2）证明：问题等价于证明，xlnx+x>(x)/(ex)-(2)/(e)，（x∈（0，+∞））恒成立．
设G（x）=(x)/(ex)-(2)/(e)（x∈（0，+∞）），则G′（x）=(1-x)/(ex)，
∴当0<x<1时，G′（x）>0，
当x>1时，G′（x）<0，
故G（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，
∴G（x）_max=G（1）=-(1)/(e)，
∵-(1)/(e2)>-(1)/(e)，
∴不等式得证…（12分）