求高数题目1、设a>b>0n>1,证明：nb^(n-1)(a-b)0n>1,证明：nb^(n-1)*(a-b)

Question

求高数题目
1、设 a>b>0 n>1,证明 ：n b^(n-1) (a-b)0 n>1,证明 ：n b^(n-1) *(a-b)

Answer 1

你好!
1、在[b,a]上对f(x)=x^n运用拉格朗日中值定理有
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b),其中b即　a^n-b^n=n(a-b)c^(n-1)
又b^(n-1)可得n(a-b)b^(n-1)2、令f(x)=x^5 +x-1
f(0) = -1<0 f(1)=1>0
∴f(x)=0在(0,1)内至少有一根
f'(x)=5x^4 +1>0
∴f(x)单调递增
故f(x)=0只有一个根且在(0,1)内
即方程x^5 +x-1=0 只有一个正根.
3、令g(x)=f(x)/e^x
g'(x)=[f'(x)e^x - f(x)e^x]/e^(2x)=0 【∵f'(x)=f(x)】
故g(x)=C 即f(x)=Ce^x
又f(0)=1∴C=1
∴f(x)=e^x