在一个环（不一定是交换环）中，如果1－ab关于乘法可逆，怎么证明1－ba也关于乘法可逆？请注意，a和b并没有说明是可逆元，1指的是乘法单位元．此题目属于抽象基础代数部分，我没有找

Question

在一个环（不一定是交换环）中，如果1－ab关于乘法可逆，怎么证明1－ba也关于乘法可逆？
请注意，a和b并没有说明是可逆元，1指的是乘法单位元．
此题目属于抽象基础代数部分，我没有找到它的解答．希望见过此题或懂得解法的高人给予指点．谢谢．

Answer 1

assume: c(1-ab)=1
then: c-cab=1 and cab=c-1
therefore:
(bca+1)(1-ba) = bca+1-bcaba-ba = bca+1-b(c-1)a-ba
= bca+1-bca+ba-ba
= 1
So (bca+1) is the inverse of 1-ba.
In the following, I explain why I consider
(bca+1).
In fact, formally
inverse of 1-ab=1+ab+abab+ababab...
while 1-ba=1+ba+baba+bababa...
=1+b(1+ab+abab+...)a
=1+b(inverse of 1-ab)a.