（2014•安庆一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=33，AE=3，求AF的长；（3）若CD=CE，则

Question

（2014•安庆一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3√(3)，AE=3，求AF的长；
（3）若CD=CE，则直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．试证明之．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD=3√(3)，AE=3，
∴DE=√(AD2+AE2)=√((3√(3))2+32)=6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得(AF)/(DC)＝(AD)/(DE)，
∴AF=(DC×AD)/(DE)=(4×3√(3))/(6)=2√(3)．  

（3）过点E作EH⊥CD于点H．
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE．
又∵∠EAD=∠EHD=90°，DE=DE，
在△ADE和△HDE中，

作业帮用户 2017-10-18 举报

问题解析

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，得出∠AFD=∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE=√(AD2+AE2)，再根据△ADF∽△DEC，得出(AF)/(DC)＝(AD)/(DE)，即可求出AF的长；
（3）先过点E作EH⊥CD于点H，在△ADE和△HDE中，根据AAS得出△ADE≌△HDE，AE=HE，即可得出直线CD是以点E为圆心，AE长为半径的圆的切线．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；切线的判定．

考点点评：

此题考查了相似形的综合，用到的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．

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