（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：小题1:（1）D是BC的中点；小题2:（2）△BEC∽△ADC；小题3:（3）BC2=2AB·CE．

Question

（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

小题1:（1）D是BC的中点；小题2:（2）△BEC∽△ADC；小题3:（3）BC ² =2AB·CE．

Answer 1

小题1:（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高．    ………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；………… ……………………………………………2分
小题2:（2）证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．……………………………………………2分
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………1分
小题3:（3）证明：由△BEC∽△ADC，知 ，
即CD·BC=AC·CE．…………………………………………………2分
∵D是BC的中点，∴CD= BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC ·BC=AB·CE
即BC =2AB·CE．………………………………………2分

略