如图，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=3BD，设BD=m，求BC的长．

Question

如图，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=√(3)BD，设BD=m，求BC的长．

Answer 1

证明：（1）∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，（1分）  
又∵(AB)/(AC)=(BD)/(AE)=2，（2分）
∴△ABD∽△CAE；（1分）

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD=√(3)BD=√(3)m，
∴AD²+BD²=3m²+m²=4m²=AB²，
∴∠D=90°（2分）
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=(1)/(2)BD=(1)/(2)m，EC=(1)/(2)AD=(√(3))/(2)m，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²=（2m+(1)/(2)m）²+（(√(3))/(2)m）²=7m²，
∴BC=√(7)m．（4分）