如何证明由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项

Question

如何证明 由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项

Answer 1

以抛物线顶点为原点,对称轴为y轴,开口方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系.
假设该抛物线解析式为y=x^2/m,(m>0)则其焦点F(0,m/4),其导函数为y'=2x/m
假设某一切点为(a,a^2/m),则此切线的斜率为k=2a/m
可得此切线的解析式为y-a^2/m=2a/m(x-a),即y=2ax/m-a^2/m
焦点到其切线的垂线距离为d=(m/4+a^2/m)/(4a^2/m^2+1)^0.5
其平方为d^2=(m/4+a^2/m)^2/(4a^2/m^2+1)化简得(m^2+4a^2)/16
焦点到切点的距离为(a^2+(m/4-a^2/m)^2)^0.5化简得(m^2+4a^2)/(4m)
焦点到顶点的距离为m/4
因为 (m^2+4a^2)/16 等于 (m^2+4a^2)/(4m) 乘以 m/4
所以命题得证