如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）设点M

Question

如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）设点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的解析式为：y=（x+1）²+k，
∴其对称轴为：直线x=-1．
∵抛物线y=（x+1）²+k过点C（0，-3），
∴-3=（0+1）²+k，解得k=-4；

（2）如图，∵两点之间线段最短，
∴当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P点要在对称轴上，
∴P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，
由（1）可知，抛物线的表达式为：y=（x+1）²-4=x²+2x-3．
令y=0，则x²+2x-3=0．
解得：x₁=-3，x₂=1．
∴点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0），
设直线AC的表达式为y=kx+b，则

−3k+b＝0

b＝−3.

解得 

k＝−1

b＝−3.

∴直线AC的表达式为y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2．
∴此时点P的坐标为（-1，-2）；

（3）依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大．
∵抛物线表达式为y=（x+1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4），即MD=4，
∴点M的坐标为（-1，-4），
∴△AMB的最大面积S_△AMB=(1)/(2)AB•MD=(1)/(2)×（3+1）×4=8．