如图，已知抛物线y=ax2-5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，且点N在第四象限内，过点N

Question

如图，已知抛物线y=ax²-5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，且点N在第四象限内，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax²-5ax+2上，
∴a-5a+2=0，∴a=(1)/(2)，
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-5ax+2；

（2）把x=0代入y=(1)/(2)x²-5ax+2，
解得：y=2，
∴C（0，2），
∵抛物线的对称轴为直线x=(5)/(2)，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴

4k+b=0

b=2

，
解得：k=-(1)/(2)，b=2，
∴直线BC的解析式为：y=-(1)/(2)x+2；

（3）设N（x，(1)/(2)x²-(5)/(2)x+2），
当△OBC∽△HBN时，如图，
∴(OB)/(BH)=(OC)/(HN)，
即(4)/(4-x)=(2)/(-((1)/(2)x2-(5)/(2)x+2))，
解得：x₁=2，x₂=4（不合题意舍去），
∴N（2，-1）．