已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），|AB|是|MA|和|MB|的等差中项（1）求动点M的轨迹方程；（2）设过（0，-2）的直线l与动点M的轨迹交于C、D两点，且.OC•.OD=2，求直线l的方程．

Question

.

OC

•

.

OD

=2，求直线l的方程．

.

OC

.

.

.

OCOC

.

OD

.

.

.

ODOD

Answer 1

（1）设M（x，y），
∵|AB|是|MA|和|MB|的等差中项，
∴2|AB|=|MA|+|MB|，
∴|MA|+|MB|=4＞2=|AB|，
由椭圆的定义可知：动点M的轨迹是椭圆．
设椭圆的标准方程为：(y2)/(a2)+(x2)/(b2)＝1(a＞b＞0)．
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴动点M的轨迹方程为：(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1．
（2）∵点（0，-2）是椭圆的一个顶点，不妨取C（0，-2）．
设D（x₀，y₀），当直线l为y轴时，不满足

.

OC

•

.

OD

=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2．
联立

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

，化为（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或(12k)/(3k2+4)．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． (y2)/(a2)y2y2y22a2a2a22+(x2)/(b2)x2x2x22b2b2b22＝1(a＞b＞0)．
∴a=2，c=1，b²2=a²2-c²2=3．
∴动点M的轨迹方程为：(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1．
（2）∵点（0，-2）是椭圆的一个顶点，不妨取C（0，-2）．
设D（x₀，y₀），当直线l为y轴时，不满足

.

OC

•

.

OD

=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2．
联立

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

，化为（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或(12k)/(3k2+4)．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． (y2)/(4)y2y2y22444+(x2)/(3)x2x2x22333＝1．
（2）∵点（0，-2）是椭圆的一个顶点，不妨取C（0，-2）．
设D（x₀0，y₀0），当直线l为y轴时，不满足

.

OC

•

.

OD

=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2．
联立

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

，化为（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或(12k)/(3k2+4)．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2．

.

OC

.

.

.

.OCOCOC•

.

OD

.

.

.

.ODODOD=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2．
联立

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

，化为（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或(12k)/(3k2+4)．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2．

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

y＝kx−2

(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1

y＝kx−2y＝kx−2y＝kx−2(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1(y2)/(4)y2y2y22444+(x2)/(3)x2x2x22333＝1，化为（3k²2+4）x²2-12kx=0，
解得x=0或(12k)/(3k2+4)．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． (12k)/(3k2+4)12k12k12k3k2+43k2+43k2+42+4．∴D((12k)/(3k2+4)，(6k2−8)/(3k2+4))．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． ((12k)/(3k2+4)12k12k12k3k2+43k2+43k2+42+4，(6k2−8)/(3k2+4)6k2−86k2−86k2−82−83k2+43k2+43k2+42+4)．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2．

.

OC

.

.

.

.OCOCOC•

.

OD

.

.

.

.ODODOD=2，∴(−2(6k2−8))/(3k2+4)＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． (−2(6k2−8))/(3k2+4)−2(6k2−8)−2(6k2−8)−2(6k2−8)2−8)3k2+43k2+43k2+42+4＝2，解得k＝±(2)/(3)．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． k＝±(2)/(3)222333．
∴直线l的方程为：y＝±(2)/(3)x−2． y＝±(2)/(3)222333x−2．