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(2013•鄂尔多斯)如图,抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D为抛物线上的一点,点E为对称轴上的一点,且以点
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(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为抛物线上的一点,点E为对称轴上的一点,且以点A、O、D、E为
顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点D的坐标;
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线的顶点为C(-1,-1),
∴设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2-1,
∵抛物线经过(0,0),
∴将x=0,y=0代入抛物线解析式得:0=a-1,
解得:a=1,
∴y=(x+1)2-1=x2+2x,
令y=0时,x2+2x=0,
解得x1=0,x2=-2,
∴A(-2,0);
(2)如图所示,分三种情况考虑:
当D1在第一象限时,若四边形AOD1E1为平行四边形,
∴AO=E1D1=2,
∵抛物线对称轴为直线x=-1,
∴D1横坐标为1,
将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
当D2在第二象限时,同理D2(-3,3);
当D3在第三象限时,若四边形AE2OD3为平行四边形,此时D3与C重合,即D3(-1,-1);
(3)存在,
∵点B在抛物线上,
∴当x=-3时,y=9-6=3,
∴B(-3,3),
根据勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,
∴BO2+CO2=18+2=20,
∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC为直角三角形,
假设存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似,
设P(m,n),由题意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,则
=
,即
=
,
整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m-2=0,
解得:m1=
,m2=-2(舍去),
m1=
时,n=
+
=
,
∴P(
,
);
②若△AMP∽△COB,则
=
,即

∴设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2-1,
∵抛物线经过(0,0),
∴将x=0,y=0代入抛物线解析式得:0=a-1,
解得:a=1,
∴y=(x+1)2-1=x2+2x,
令y=0时,x2+2x=0,
解得x1=0,x2=-2,
∴A(-2,0);
(2)如图所示,分三种情况考虑:
当D1在第一象限时,若四边形AOD1E1为平行四边形,
∴AO=E1D1=2,
∵抛物线对称轴为直线x=-1,
∴D1横坐标为1,
将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
当D2在第二象限时,同理D2(-3,3);
当D3在第三象限时,若四边形AE2OD3为平行四边形,此时D3与C重合,即D3(-1,-1);
(3)存在,
∵点B在抛物线上,
∴当x=-3时,y=9-6=3,
∴B(-3,3),
根据勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,
∴BO2+CO2=18+2=20,
∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC为直角三角形,
假设存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似,
设P(m,n),由题意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,则
AM |
BO |
PM |
CO |
m+2 | ||
|
m2+2m | ||
|
整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m-2=0,
解得:m1=
1 |
3 |
m1=
1 |
3 |
1 |
9 |
2 |
3 |
7 |
9 |
∴P(
1 |
3 |
7 |
9 |
②若△AMP∽△COB,则
AM |
CO |
PM |
BO |
m+2 | |
|
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