如图,由半圆x²+y²=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x²-1）（y≥0,a>0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”,且曲线C经过点（2,3）.（1）求a的值；（2）设A（1,0）,B（-1,0）,过A且斜率为k的直线l

Question

如图,由半圆x²+y²=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x²-1）（y≥0,a>0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”,且曲线C经过点（2,3）.
（1）求a的值；
（2）设A（1,0）,B（-1,0）,过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形相交于P,A,Q 三点,问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)因为曲线C经过(2,3)点,而半圆不可能过此点,所以此点在抛物线上,可得
3=a*(2^2-1),解得a=1
(2)由题得:
l的表达式为y=k(x-1) (由图观察易得k≠0,因为若k=0则不可能出现3个交点)
设:P(a,b) Q(m,n) (P为抛物线上的点,Q为半圆上的点)
因为P点为直线l与抛物线交点,所以有:
b=k(a-1)且b=a^2-1 解得a=k-1 b=k^2-2k (有两组解,另一组为1,0舍去)
因为Q点为直线l与半圆的焦点,所以有:
n=k(m-1)且m^2+n^2=1 解得m=(k^2-1)/(k^2+1) n=(-2k)/(k^2+1)(另解1,0舍去)
即得两点坐标:P( k-1,k^2-2k ) Q( (k^2-1)/(k^2+1),(-2k)/(k^2+1) )
若∠QBA=∠PBA,则直线BP和直线BQ的斜率想等,则有:
(k^2-2k)/k=[(-2k)/(k^2+1)]/[(k^2-1)/(k^2+1)+1]
化简得k=1
所以存在k值使得∠QBA=∠PBA
综上:存在k值使得∠QBA=∠PBA,k值为1
(好久没做解析几何了,修改跟多次,最终答案比较好理解了吧.有什么不懂的给我留言哦)