在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m

Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），
C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

（1）设此抛物线的函数解析式为：
y=ax²+bx+c（a≠0），
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

16a−4b+c＝0

c＝−4

4a+2b+c＝0

解得

a＝(1)/(2)

b＝1

c＝−4

，
所以此函数解析式为：y=(1)/(2)x2+x−4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，(1)/(2)m2 +m−4），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=(1)/(2)×4×（-(1)/(2)m²-m+4）+(1)/(2)×4×（-m）-(1)/(2)×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．
答：m=-2时S有最大值S=4．

（3）设P（x，(1)/(2)x²+x-4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ，
∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值，
又∵直线的解析式为y=-x，
则Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（(1)/(2)x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2√(5)．
x=0不合题意，舍去．
如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2√(5)，2-2√(5)）或（-2-2√(5)，2+2√(5)）或（4，-4）．