求椭圆x^2/4+y^2=1在点M(√2,√2/2)点处的切线方程求x^2/4+y^2=1确定的隐函数的y=f(x)的d^2y/dx2二阶导数

Question

求椭圆x^2/4+y^2=1在点M(√2,√2/2)点处的切线方程
求x^2/4+y^2=1确定的隐函数的y=f(x)的d^2y/dx2二阶导数

Answer 1

第一个问题
方法一：
直接套用公式,得切线方程是：√2x/4＋√2y/2＝1,即：x＋2y－2√2＝0.
方法二：
对椭圆方程两边求导数,得：2x/4＋2yy′＝0,∴y′＝－x/（4y）,
∴切线的斜率是＝－√2/［4（√2/2）］＝－1/2.
∴切线的方程是：y－√2/2＝－（1/2）（x－√2）,即：x＋2y－2√2＝0.
方法三：
令切线的斜率为k,得：切线方程是：y－√2/2＝k（x－√2）,即：y＝kx－√2k＋√2/2.
联立：y＝kx－√2k＋√2/2、x^2/4＋y^2＝1,消去y,得：x^2/4＋（kx－√2k＋√2/2）^2＝1,
∴x^2＋（2kx－2√2k＋√2）^2－4＝0,
∴x^2＋4k^2x^2－4k（－2√2k＋√2）x＋（－2√2k＋√2）^2－4＝0,
∴（1＋4k^2）x^2＋4k（2√2k－√2）x＋2（2k－1）^2－4＝0.
显然该方程的判别式为0,即：16k^2（2√2k－√2）^2－4（1＋4k^2）［2（2k－1）^2－4］＝0,
∴4k^2（2k－1）^2－（1＋4k^2）［（2k－1）^2－2］＝0,
∴4k^2（2k－1）^2－（2k－1）^2＋2－4k^2（2k－1）^2－8k^2＝0,
∴－4k^2＋4k－1＋2－8k^2＝0,　∴12k^2－4k－1＝0,∴（2k＋1）（6k－1）＝0.
从作图可知：切线切椭圆于第一象限,∴k＜0,∴k＝－1/2.
∴切线的方程是：y＝－x/2＋√2/2＋√2/2,即：x＋2y－2√2＝0.
第二个问题
∵x^2/4＋y^2＝1,∴2x/4＋2yy′＝0,∴x/2＋2yy′＝0,∴1/2＋2yy″＋2（y′）^2＝0,
∴y″＝［2（y′）^2－1/2］/（2y）.
由x/2＋2yy′＝0,得：y′＝－x/（4y）,∴（y′）^2＝x^2/（16y^2）.
由x^2/4＋y^2＝1,得：16y^2＝16－4x^2,∴（y′）^2＝x^2/（16－4x^2）.
由x^2/4＋y^2＝1,得：y＝±√（1－x^2/4）.
∴y″＝［2（y′）^2－1/2］/（2y）＝±［x^2/（8－2x^2）－1/2］/√（1－x^2/4）
＝±［x^2－（4－x^2）］/［8－2x^2）（1/2）√（4－x^2）］
＝±（2x^2－4）/［（4－x^2）√（4－x^2）］.