已知定点A（-2,0）,动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P.已知定点A（-2,0）,动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P.1.则动点P的轨迹

Question

已知定点A（-2,0）,动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P.已知定点A（-2,0）,动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P.1.则动点P的轨迹方程为2.直线Y=√3X+1交P点的轨迹于M,N两点,若P点的轨迹上存在点C,是向量OM+向量ON=m倍向量OC,求C点坐标!要求使用椭圆参数方程去做!并要回答双曲线参数方程的应用且要举例题说明!好的回答一定加分!

Answer 1

（1）由题意|PA|=|PB|,且|PB|+|PF|=8,
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆、（4分）
设所求椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
∴2a=8,a=4,a²-b²=c²=2²=4
∴b2=12
∴点P的轨迹方程为x²/16+y²/12=1
（2）假设存在满足题意的点C（4sinα,2√3cosα）,设M（x1,y1）,N（x2,y2）
由向量OM+向量ON=m倍向量OC可知
(x1+x2,y1+y2)=m（4sinα,2√3cosα）
∴4sinα=（x1+x2）/m；2√3cosα=（y1+y2）/m
再将直线Y=√3X+1代入椭圆方程可得
15x^2+8√3x-44=0
则x1+x2=-8√3/15
y1+y2=√3(x1+x2)+2=2/5
∴sinα=-2√3/（15m） ；√3cosα=√3/（15m）
由sin²α+cos²α=1得
m²=1/15
∴m=±1/√15
∴sinα=-2√5/5,cosα=√5/5或sinα=2√5/5,cosα=-√5/5
∴点C坐标为（-8√5/5,2√15/5）或（8√5/5,-2√15/5）