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已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为5,过点C作⊙A的切线交x轴于点B(-4,0).(1)求切线BC的解析式;(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作

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已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为
5
,过点C作⊙A的切线交x轴于点B(-4,0).

(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1所示,连接AC,则AC=
5

在Rt△AOC中,AC=
5
,OA=1,则OC=2,
∴点C的坐标为(0,2);
设切线BC的解析式为y=kx+b,它过点C(0,2),B(-4,0),
则有
b=2
−4k+b=0
,解之得
k=
1
2
b=2

y=
1
2
x+2.(4分)

(2)如图1所示,设点G的坐标为(a,c),过点G作GH⊥x轴,垂足为H点,
则OH=a,GH=c=
1
2
a+2,(5分)
连接AP,AG;
因为AC=AP,AG=AG,所以Rt△ACG≌Rt△APG(HL),
所以∠AGC=
1
2
×120°=60°,
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
5

∴sin60°=
AC
AG
,∴AG=
2
15
3
;(6分)
在Rt△AGH中,AH=OH-OA=a-1,GH=
1
2
a+2,
∵AH2+GH2=AG2
∴(a-1)2+(
1
2
a+2)2=(
2
15
3
)2,
解之得:a1=
2
3
3
,a2=-
2
3
3
(舍去);(7分)
∴点G的坐标为(
2
3
3
3
3
+2).(8分)

(3)如图2所示,在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形.(9分)
要使△AEF为直角三角形,∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE≠90°,∴只能是∠EAF=90°;
当圆心A在点B的右侧时,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,
在Rt△AEF中,AE=AF=
5

则EF=
10
,AM=
1
2
EF=
1
2
10

在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,则BC=2
5

∵∠BOC=∠BMA=90°,∠OBC=∠OBM,
∴△BOC∽△BMA,
OC
AM
=
BC
AB

∴AB=
5
2
2

∴OA=OB-AB=4-
5
2
2

∴点A的坐标为(-4+
5
2
2
,0);(11分)
当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,过点A′作A′M′⊥BC于点M′,可得:
△A′M′B≌△AMB,A′B=AB=
5
2
2

∴OA′=OB+A′B=4+
5
2
2

∴点A′的坐标为(-4-
5
2
2
,0);
综上所述,点A的坐标为(-4+
5
2
2
,0)或(-4-
5
2
2
,0).(13分)