已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为66．

Question

已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为

√(6)

√(6)

．

Answer 1

如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O₂A=(2)/(3)×(√(3))/(2)x=(√(3))/(3)x，
在Rt△OAO₂中，((h)/(2))2+((√(3))/(3)x)2＝22，
化为h2＝16−(4)/(3)x2．
∵S_侧=3xh，
∴

S

2 侧

=9x²h²=9x2(16−(4)/(3)x2)=12x²（12-x²）≤12((x2+12−x2)/(2))2=432．
当且仅当x=√(6)时取等号．
故答案为：√(6)．