在△ABC中，BC=8，高AH为4，△DEF在△ABC内，三个顶点D、E、F分别在BC、AB和AC上，且点D与点A在直线EF的异侧，我们称△DEF为△ABC的内接三角形．（1）如图1，当△DEF∽△ABC，且EF=3时，求△DEF的

Question

在△ABC中，BC=8，高AH为4，△DEF在△ABC内，三个顶点D、E、F分别在BC、AB和AC上，且点D与点A在直线EF的异侧，我们称△DEF为△ABC的内接三角形．
（1）如图1，当△DEF∽△ABC，且EF=3时，求△DEF的面积；
（2）如图2，在△ABC的内接△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求△DEF的面积；
（3）如图3，在△ABC的内接三角形DEF中，DE=DF，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求等腰△DEF面积的最大值．

Answer 1

（1）∵BC=8，高AH为4，
∴△ABC的面积为(1)/(2)×8×4=16，
∵△DEF∽△ABC，
∴(△DEF的面积)/(△ABC的面积)=（(EF)/(BC)）²，
∴△DEF的面积为：(9)/(4)；
（2）如图2，作DP⊥EF于P，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴PD=(1)/(2)EF，
由题意可知，四边形PDHG为矩形，∴PD=GH，
设EF=x，则PD=GH=(1)/(2)x，
∵EF∥BC，
∴(EF)/(BC)=(AG)/(AH)，即(x)/(8)=(4-(1)/(2)x)/(4)，
解得，x=4，
∴△DEF的面积=(1)/(2)×EF×PD=4；
（3）如图2，设EF=a，
∵EF∥BC，
∴(EF)/(BC)=(AG)/(AH)，即(a)/(8)=(4-GH)/(4)，
解得，GH=4-(1)/(2)a，
∵PD=GH，
∴△DEF面积=(1)/(2)×a×（4-(1)/(2)a）=-(1)/(2)（a-4）²+4，
∵-(1)/(2)<0，
∴等腰△DEF面积的最大值为4．