证明x^3+x-1=0有且只有一个正根,要求用中值定理证明注意这里要证明的是只有一个正根,而不是至少有一个正根

Question

证明x^3+x-1=0有且只有一个正根,要求用中值定理证明
注意这里要证明的是只有一个正根,而不是至少有一个正根

Answer 1

证明 设f(x)=x^3+x-1
则 f'(x)=3*x^2+1>0
所以f(x)在整个实数区间内单调递增
又 f(0)=-10,根据罗尔中值定理f(x)在（0,1）内至少有一正根.
又f’(x)=3x^2+1>0知f(x)在（0,正无穷）上为增函数,故只有一个根.