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有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线,P(x,y)为曲线上的任一点.设曲线在原点与P点之间的弧长为S1,曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2,已知3S1+2S2=
题目详情
有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线,P(x,y)为曲线上的任一点.设曲线在原点与P点之间的弧长为S1,曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2,已知
=
,求该曲线方程.
| 3S1+2 |
| S2 |
| 2(x+1) |
| x |
▼优质解答
答案和解析
设曲线方程为y=f(x),则f(0)=0且f′(0)=0
在点P处的切线方程,设为Y-y=f′(x)(X-x),则
切线与y轴的交点为(0,y-xf′(x))
∴由弧长的计算公式,得
S1=
dt
由两点间的距离公式,得
S2=
=x
又已知
=
∴3
dt=2(x+1)
两边求导,得
1+f′2(x)=2(x+1)f′(x)f″(x)
令f′(x)=p,则
=
两边积分,得
1+p2=C(x+1)
即(
)2=Cx+C−1
又f′(0)=0,得C=1
∴
=
在点P处的切线方程,设为Y-y=f′(x)(X-x),则
切线与y轴的交点为(0,y-xf′(x))
∴由弧长的计算公式,得
S1=
| ∫ | x 0 |
| 1+f′2(t) |
由两点间的距离公式,得
S2=
| x2+x2f′2(x) |
| 1+f′2(x) |
又已知
| 3S1+2 |
| S2 |
| 2(x+1) |
| x |
∴3
| ∫ | x 0 |
| 1+f′2(t) |
| 1+f′2(x) |
两边求导,得
1+f′2(x)=2(x+1)f′(x)f″(x)
令f′(x)=p,则
| 2pdp |
| 1+p2 |
| dx |
| x+1 |
两边积分,得
1+p2=C(x+1)
即(
| dy |
| dx |
又f′(0)=0,得C=1
∴
| dy |
| dx |
|
作业帮用户
2017-10-16
![]() |
看了 有一在原点处与x轴相切并在第...的网友还看了以下:
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