有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P（x，y）为曲线上的任一点．设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，已知3S1+2S2＝

Question

有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P（x，y）为曲线上的任一点．设曲线在原点与P点之间的弧长为S₁，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S₂，已知(3S1+2)/(S2)＝(2(x+1))/(x)，求该曲线方程．

Answer 1

设曲线方程为y=f（x），则f（0）=0且f′（0）=0
在点P处的切线方程，设为Y-y=f′（x）（X-x），则
切线与y轴的交点为（0，y-xf′（x））
∴由弧长的计算公式，得
S1＝

∫

x 0

√(1+f′2(t))dt
由两点间的距离公式，得
S2＝√(x2+x2f′2(x))＝x√(1+f′2(x))
又已知(3S1+2)/(S2)＝(2(x+1))/(x)
∴3

∫

x 0

√(1+f′2(t))dt＝2(x+1)√(1+f′2(x))
两边求导，得
1+f′²（x）=2（x+1）f′（x）f″（x）
令f′（x）=p，则
(2pdp)/(1+p2)＝(dx)/(x+1)
两边积分，得
1+p²=C（x+1）
即((dy)/(dx))2＝Cx+C−1
又f′（0）=0，得C=1
∴(dy)/(dx)＝

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

首先，通过弧长计算方法求出S₁，利用两点间的距离公式求出S₂；然后，通过已知的(3S1+2)/(S2)＝(2(x+1))/(x)，建立微分方程，求解微分方程即可．

名师点评

本题考点：

微分方程的建立；弧长的计算；求解微分方程．

考点点评：

此题考查弧长的计算、微分方程的建立以及求解微分方程，综合性比较强，但知识点并不难，需要有清晰的思路．

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