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有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线,P(x,y)为曲线上的任一点.设曲线在原点与P点之间的弧长为S1,曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2,已知3S1+2S2=

题目详情
有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线,P(x,y)为曲线上的任一点.设曲线在原点与P点之间的弧长为S1,曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2,已知
3S1+2
S2
2(x+1)
x
,求该曲线方程.
▼优质解答
答案和解析
设曲线方程为y=f(x),则f(0)=0且f′(0)=0
在点P处的切线方程,设为Y-y=f′(x)(X-x),则
切线与y轴的交点为(0,y-xf′(x))
∴由弧长的计算公式,得
S1=
x
0
1+f′2(t)
dt
由两点间的距离公式,得
S2=
x2+x2f′2(x)
=x
1+f′2(x)

又已知
3S1+2
S2
2(x+1)
x

3
x
0
1+f′2(t)
dt=2(x+1)
1+f′2(x)

两边求导,得
1+f′2(x)=2(x+1)f′(x)f″(x)
令f′(x)=p,则
2pdp
1+p2
dx
x+1

两边积分,得
1+p2=C(x+1)
(
dy
dx
)2=Cx+C−1
又f′(0)=0,得C=1
dy
dx
作业帮用户 2017-10-16
问题解析
首先,通过弧长计算方法求出S1,利用两点间的距离公式求出S2;然后,通过已知的
3S1+2
S2
2(x+1)
x
,建立微分方程,求解微分方程即可.
名师点评
本题考点:
微分方程的建立;弧长的计算;求解微分方程.
考点点评:
此题考查弧长的计算、微分方程的建立以及求解微分方程,综合性比较强,但知识点并不难,需要有清晰的思路.
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