证明曲线y=sinxx在区间0,2π的弧长等于椭圆x^2+2y^2=2的周长

Question

证明曲线y=sinx x在区间【0,2π】的弧长等于椭圆x^2+2y^2=2的周长

Answer 1

弧长积分公式：
一般方程：s=∫√(1+y'^2)dx
参数方程x=x(t),y=y(t)：s=∫(√[x'(t)^2+y'(t)^2])dt
1)对曲线y=sinx,x∈[0,2π],y'=cosx
由于正弦曲线的对称性,可先求其弧长的1/4,即s/4,x∈[0,π/2]
∴s/4=∫(0,π/2)√(1+(cosx)^2)dx
2)对椭圆x^2+2y^2=2,即x^2/2+y^2=1
可变换为参数方程：x=x(t)=acost=√2cost,y=y(t)=bsint=sint,t∈[0,2π]
则有x'(t)=-√2sint,y'(t)=cost
由椭圆的对称性,也可先求其周长的1/4,即L/4,t∈[0,π/2]
L/4=∫(0,π/2)√[(-√2sint)^2+(cost)^2]dt
=∫(0,π/2)√[2(sint)^2+(cost)^2]dt
=∫(0,π/2)√[1+(sint)^2]dt
这两个式子积分出来的s和L的结果应该不相等,楼主的椭圆方程是否有问题?
如果把椭圆方程换成2x^2+y^2=2,则s和L的结果相同.
大家可以仔细讨论验算一下,看看我的计算是否有误.