如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点,AB=AD,记角CAD=α,角ACB=β（1）证明如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点,AB=AD,记角CAD=α,角ACB=β（1）证明sinα=cos2β(2)若AC=√3DC,求β的值

Question

如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点,AB=AD,记角CAD=α,角ACB=β （1）证明
如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点,AB=AD,记角CAD=α,角ACB=β
（1）证明sinα=cos2β
(2)若AC=√3 DC,求β的值

Answer 1

注：题中〃角CAD=α,角ACB=β 〃应为“角CAD=α,角ABC=β”.

(1) ∵AB＝AD ,
∴∠ABC＝∠ADB＝β,
β＝α＋∠C＝α＋(90º－β),
即2β＝90º＋α,
∴cos2β＝cos(90º＋α)＝-sinα, 
∴sinα＋cos2β＝0 .

(2)在⊿ACD中由
得：
AC/sin∠ADC＝DC/sinα,
即AC／sin(180º－β)＝DC／sinα,
∴AC／DC＝sinβ／sinα,
又AC／DC＝√3,
得：sinβ＝√3sinα＝-√3cos2β＝-√3(1－2sin²β)
即2√3sin²β－sinβ －√3＝0,
解之,得
sinβ＝√3/2,﹙不合题意的已舍去﹚
∴β＝60º.