设数列{an}满足an=3an-1+2（n≥2，n∈N+），且a1=2，bn=log3（an+1）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．

Question

设数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）证明：∵数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}为等比数列，首项为3，公比为3；
（2） 由（1）可得：a_n=3ⁿ-1．
∵b_n=log₃（a_n+1），∴b_n=log3(3n+1-1)=n．
∴a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n．
令T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=(3(3n-1))/(3-1)-n•3ⁿ⁺¹=(1-2n)/(2)•3ⁿ⁺¹-(3)/(2)，
∴T_n=(2n-1)/(4)•3n+1+(3)/(4)．
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=(2n-1)/(4)•3n+1+(3)/(4)-(n(n+1))/(2)．