已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
∴f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
即f（x）在点P（0，1）处的切线方程为y-1=x，即y=x+1．
（Ⅱ）要使函数f（x）为R上的单调递增函数，
则f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①当x＞0时，2a≤(ex)/(x)成立，
设g（x）=(ex)/(x)，则g′（x）=(ex(x−1))/(x2)，
由g′（x）=0得x=1，
当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，此时函数单调递减．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤(e)/(2)．
②x＜0时，2a≥(ex)/(x)成立，
∵(ex)/(x)＜0，∴2a≥0，则a≥0；
又a=0，f′（x）=e^x≥0恒成立；
综上，若函数f（x）为R上的单调递增函数，则0≤a≤(e)/(2)．