已知函数f（x）=（2x-4）ex+a（x+2）2（x>0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a∈(0，12)时，证明：函数f（x）有最小值

Question

已知函数f（x）=（2x-4）e^x+a（x+2）²（x>0，a∈R，e是自然对数的底）．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a∈(0，(1)/(2))时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=2e^x+（2x-4）e^x+2a（x+2）=（2x-2）e^x+2a（x+2），
依题意：当x>0时，函数f'（x）≥0恒成立，即a≥-((x-1)ex)/(x+2)恒成立，
记g(x)=-((x-1)ex)/(x+2)，则g′(x)=-(xex(x+2)-(x-1)ex)/((x+2)2)=-((x2+x+1)ex)/((x+2)2)<0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g(x)<g(0)=(1)/(2)，所以a≥(1)/(2)；---（6分）
（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe^x+2a>0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，
又f'（0）=4a-2<0，f'（1）=6a>0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0
且当a→0时t→1，当a→(1)/(2)时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．-------（8分）
又当x∈（0，t），f'（x）<0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）>0，
所以当x=t时，f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2．且有f′(t)=0⇒a=-((t-1)et)/(t+2)
由（Ⅰ）知a=-((t-1)et)/(t+2)=g(t)，在（0，+∞）上单调递减，
又g(0)=(1)/(2)，g（1）=0，且a∈(0，(1)/(2))，故t∈（0，1），
∴f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(t-1)(t+2)et=et(-t2+t-2)，t∈（0，1）-------（10分）
记h（t）=e^t（-t²+t-2），则h'（t）=e^t（-t²+t-2）+e^t（-2t+1）=e^t（-t²-t-1）<0，
所以h（1）<h（t）<h（0），即最小值的取值范围是（-2e，-2）．-------（12分）