已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的

Question

已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x ² +3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得1=2x+3，故x=-1
函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点为（-1，0）
将切点坐标代入函数f（x）=x+b可得b=1
（或：依题意得f（x））=g（x），
即x ² +2x+2-b=0有唯一实数解
故△=2 ² -4（2-b）=0，即b=1
∴F（x）=（x+1）（x ² +2x+2）=x ³ +4x ² +5x+2
故F′（x）=0，解得x=-1或x=- (5)/(3) ．
列表如下：



从上表可知 F(x)在x=-(5)/(3) 处取得极大值(4)/(27) ，在x=-1 处取得极小值．
（2）由（1）可知涵数y=F（x）大致图象如图所示．
作函数y=k的图象，当y=F（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时，
关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．结合图形可知 k∈(0，(4)/(27) ) ．