设等比数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意n∈N*，Sn＞0，则数列{an}的公比的取值范围为（）A、（-∞，0）∪（1，+∞）B、（-∞，-1）∪（1，+∞）C、

Question

设等比数列{a _n }的前n项的和为S _n ，且对任意n∈N ^* ，S _n ＞0，则数列{a _n }的公比的取值范围为（　　）

A、（-∞，0）∪（1，+∞）

B、（-∞，-1）∪（1，+∞）

C、（-1，0）∪（1，+∞）

D、（-1，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：
Sn= a1(1-qn)1-q，由S1=a1＞0，知1-qn1-q＞0恒成立，当q＞1时，qn＞1恒成立；当q=1时，只要a1＞0，Sn＞0就一定成立．当q＜1时，1-qn＞0必须恒成立；当0＜q＜1时，1-qn＞0恒成立；当-1＜q＜0时，1-qn＞0也恒成立；当q＜-1时，当n为偶数时，1-qn＞0不成立；当q=-1时，显然1-qn＞0也不可能恒成立．由此能得到q的取值范围．

Sn= a1(1-qn)1-q，∵Sn＞0，∴a1＞0，则1-qn1-q＞0恒成立，当q＞1时，1-qn＜0恒成立，即qn＞1恒成立，又q＞1，所以这显然成立，当q=1时，只要a1＞0，Sn＞0就一定成立．当q＜1时，1-qn＞0必须恒成立当0＜q＜1时，1-qn＞0恒成立当-1＜q＜0时，1-qn＞0也恒成立当q＜-1时，当n为偶数时1-qn＞0不成立当q=-1时，显然1-qn＞0也不可能恒成立所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．故选D．
点评：
本题考查数列{an}的公比的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．