在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+tcosφy=3+tsinφ（t为参数，φ∈[0，π3]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，π3），半径为2，

Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=2+tcosφ

y=√(3)+tsinφ

（t为参数，φ∈[0，(π)/(3)]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，(π)/(3)），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．

Answer 1

（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，(π)/(3)），即(1，√(3))，半径为2，可得圆的标准方程为：(x-1)2+(y-√(3))2=4，
展开可得：x²+y²-2x-2√(3)y=0，化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-2√(3)ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2√(3)sinθ=4cos((π)/(3)-θ)．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t²+2tcosφ-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosφ，t₁t₂=-3．
∴|MN|=|t₁-t₂|=√((t1+t2)2-4t1t2)=2√(cos2φ+3)，
∵φ∈[0，(π)/(3)]，∴cosφ∈[(1)/(2)，1]，cos²φ∈[(1)/(4)，1]．
∴|MN|∈[√(13)，4]．