设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈N*．（1）证明：an+2=3an，并求数列{an}的通项公式；（2）求Sn．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=2，且a_n+2=3S_n-S_n+1+3，n∈N^*．
（1）证明：a_n+2=3a_n，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n．

Answer 1

（1）证明：∵对任意的n∈N^*，有a_n+2=3S_n-S_n+1+3，①
∴对任意的n∈N^*，n≥2，有a_n+1=3S_n-1-S_n+3．②
①-②，得a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，即a_n+2=3a_n，n≥2．
又∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=3S₁-S₂+3=3a₁-（a₁+a₂）+3=3a₁．
∴对一切n∈N^*，a_n+2=3a_n．
∵a_n≠0，
∴(an+2)/(an)=3，
∴数列{a_2n-1}是首项a₁=1，公比为3的等比数列；数列{a_2n}是首项a₂=2，公比为3的等比数列．
∴a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
∴a_n=

3(n+1)/(2)-1(n为奇数)

2(n)/(2)-1(n为偶数)

．
（2） 由（1）知，a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
则S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=（1+3+…+3^n-1）+2×（1+3+…+3^n-1）=3×（1+3+…+3^n-1）=(3(3n-1))/(2)，
故S_2n-1=S_2n-a_2n=(3(3n-1))/(2)-2×3^n-1=(3)/(2)×（5×3^n-2-1）．
综上所述，S_n=

(3)/(2)(5×3(n-2)/(2)-1)，(n=2k+1，k∈N+)

(3)/(2)(3(n)/(2)-1)，(n=2k，k∈N+)

．