当0＜x＜π2时，证明：2xπx＜sinx＜x．

Question

当0＜x＜(π)/(2)时，证明：(2x)/(π)x＜sinx＜x．

Answer 1

证明：如图由三角函数线的定义可知，

sinx=MP，cosx=OM，tanx=AT，
∵x∈（0，(π)/(2)）时，且S_△AOP＜S_扇形AOP，
∴(1)/(2)×OA×MP＜(1)/(2)×x×OA2
则MP＜x，即sinx＜x，
在同一个坐标系中画出y=sinx和y=(2x)/(π)图象如下图所示：

由图得，当x∈（0，(π)/(2)）时，直线y=(2x)/(π)在y=sinx下方，
则(2x)/(π)＜sinx
综上得，(2x)/(π)＜sinx＜x．