已知函数f（x）=ex-1-x-ax2．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x>0，证明（ex-1）ln（x+1）>x2．

Question

已知函数f（x）=e^x-1-x-ax²．
（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x>0，证明（e^x-1）ln（x+1）>x²．

Answer 1

（Ⅰ）a=0时，f（x）=e^x-1-x，
f′（x）=e^x-1…（1分）
当x∈（-∞，0）时，f'（x）<0；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）>0…（2分）
故在单调递减，在单调递增，
f（x）_min=f（0）=0，∴f（x）≥0…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=e^x-1-2ax，令h（x）=e^x-1-2ax，则h'（x）=e^x-2a．
1）当2a≤1时，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（0）=0，∴a≤(1)/(2)时满足条件；…（5分）
2）当2a>1时，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
当x∈[0，ln2a）上，h'（x）<0，h（x）单调递减，
∴x∈（0，ln2a）时，有h（x）<h（0）=0，即f'（x）<f'（0）=0，
∴f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，
∴f（x）<f（0）=0，不合题意…（7分）
综上得实数a的取值范围为(-∞，(1)/(2)]…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当a=(1)/(2)时，x>0，e^x>1+x+(x2)/(2)，即e^x-1>x+(x2)/(2)，
欲证不等式（e^x-1）ln（x+1）>x²，只需证ln（x+1）>(2x)/(x+2)…（10分）
设F（x）=ln（x+1）-(2x)/(x+2)，则F′（x）=(x2)/((x+1)(x+2)2)，
∵x>0时，F′（x）>0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）>0恒成立．
所以原不等式得证…（12分）