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如图,⊙O与直线l1相离,圆心O到直线l1的距离OB=2,OA=4,将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C,则OC=.
题目详情
如图,⊙O与直线l1相离,圆心O到直线l1的距离OB=2
,OA=4,将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C,则OC= .



▼优质解答
答案和解析
在直角△ABO中,利用正弦三角函数的定义求得∠OAB=60°,然后由旋转的角度、图中角与角间的和差关系知∠OAC=30°;最后由切线的性质推知△AOC是直角三角形,在直角三角形中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得OC=2.
【解析】
∵OB⊥AB,OB=2
,OA=4,
∴在直角△ABO中,sin∠OAB=
=
,则∠OAB=60°;
又∵∠CAB=30°,
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°;
∵直线l2刚好与⊙O相切于点C,
∴∠ACO=90°,
∴在直角△AOC中,OC=
OA=2(30°角所对的直角边是斜边的一半).
故答案是:2.
【解析】
∵OB⊥AB,OB=2

∴在直角△ABO中,sin∠OAB=


又∵∠CAB=30°,
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°;
∵直线l2刚好与⊙O相切于点C,
∴∠ACO=90°,
∴在直角△AOC中,OC=

故答案是:2.
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