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求证：当0＜x＜y＜e*e时,都有y-x＞ylnx-xlny成立.
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求证：当0＜x＜y＜e*e时,都有y-x＞ylnx-xlny成立.
▼优质解答
答案和解析
引入函数f（x）＝（1－lnx）/x,则：
f′（x）＝［（1－lnx）′x－（1－lnx）x′］/x^2＝［－（1/x）x－（1－lnx）］/x^2＝（lnx－2）/x^2.
显然,在区间（0,e^2）上,lnx＜2,∴在区间（0,e^2）上,f′（x）＜0,
∴f（x）在区间（0,e^2）上是减函数,而0＜x＜y＜e^2,∴f（x）＞f（y）,
∴（1－lnx）/x＞（1－lny）/y,∴y（1－lnx）＞x（1－lny）,∴y－ylnx＞x－xlny,
∴y－x＞ylnx－xlny.
f′（x）＝［（1－lnx）′x－（1－lnx）x′］/x^2＝［－（1/x）x－（1－lnx）］/x^2＝（lnx－2）/x^2.
显然,在区间（0,e^2）上,lnx＜2,∴在区间（0,e^2）上,f′（x）＜0,
∴f（x）在区间（0,e^2）上是减函数,而0＜x＜y＜e^2,∴f（x）＞f（y）,
∴（1－lnx）/x＞（1－lny）/y,∴y（1－lnx）＞x（1－lny）,∴y－ylnx＞x－xlny,
∴y－x＞ylnx－xlny.
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