如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．

Question

如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= √(3)，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为___．

Answer 1

设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC²=4-2√(3)cosα，
由正弦定理可得sinβ=(sinα)/(√(4-2√(3)cosα))，
∴BD²=3+4-2√(3)cosα-2×√(3)×√(4-2√(3)cosα)×cos（90°+β）=7-2√(3)cosα+2√(3)sinα=7+2√(6)sin（α-45°），
∴α=135°时，BD取得最大值√(6)+1．
故答案为：√(6)+1．