一道几何证明题,给100分!给定凸四边形ABCD与形内一点O,且∠AOB=∠COD=120°，且AO=BO，CO=OD，设LKM分别为线段AB、BC、AC的中点，求证（1）KL=LM（2）ΔKLM为等边三角形

Question

一道几何证明题,给100分!给定凸四边形ABCD与形内一点O,且∠AOB=∠COD=120°，且AO=BO，CO=OD，设LKM分别为线段AB、BC、AC的中点，求证（1）KL=LM（2）ΔKLM为等边三角形

Answer 1

1连接AC BD ∵Ｋ、Ｌ、Ｍ分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ的中点 ∴ＫＬ∥ＡＣ，ＫＬ＝１／２ＡＣ ∴ＭＬ∥ＢＤ，ＭＬ＝１／２ＢＤ ∵ＡＯ＝ＢＯ ＣＯ＝ＤＯ ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ ∴△ＡＯＣ≌△ＢＯＤ ∴ＡＣ＝ＢＤ ∴ＫＬ＝ＭＬ 2连接ＫＯ、ＭＯ ∵ＡＯ＝ＢＯ，Ｋ是ＡＢ中点 ∴ＫＯ⊥ＡＢ ∵∠ＡＯＢ＝１２０度 ∴∠ＫＯＡ＝３０度 ∴ＫＯ＝１／２ＡＯ 即ＫＯ／ＡＯ＝１／２ 同理可得，ＭＯ／ＣＯ＝１／２ ∴ＫＯ／ＡＯ＝ＭＯ／ＣＯ ∵∠ＫＯＭ＝∠ＫＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＭ＝６０度＋∠ＢＯＣ＋６０度＝１２０度＋∠ＢＯＣ ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＫ＋∠ＫＯＢ＋∠ＢＯＣ＝６０度＋６０度＋∠ＢＯＣ＝１２０度＋∠ＢＯＣ ∴∠ＫＯＭ＝∠ＡＯＣ ∴△ＫＯＭ∽△ＡＯＣ ∴ＫＭ／ＡＣ＝１／２ 即ＫＭ＝１／２ＡＣ ∴ＫＭ＝ＫＬ＝ＭＬ ∴△ＫＬＭ为等边三角形