如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=3，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．

Question

如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=

3

，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S ² +T ² 的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）连接BD，
∵CD=

3

，AB=BC=DA=1，
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD ² =BC ² +CD ² -2BC•CDcosC=4-2

3

cosC；
在△ABD中，BD ² =2-2cosA，
∴4-2

3

cosC=2-2cosA，
则cosA=

3

cosC-1；
（Ⅱ）S= (1)/(2) BC•CD•sinC= (3)/(2) sinC，T= (1)/(2) AB•ADsinA= (1)/(2) sinA，
∵cosA=

3

cosC-1，
∴S ² +T ² = (3)/(4) sin ² C+ (1)/(4) sin ² A= (3)/(4) （1-cos ² C）+ (1)/(4) （1-cos ² A）=- (3)/(2) cos ² C+ (3)/(2) cosC+ (3)/(4) =- (3)/(2) （cosC- (3)/(6) ） ² + (7)/(8) ，
∵cosA=

3

cosC-1＞0，即cosC＞ (3)/(2) ，
∴C∈（30°，90°），∴cosC∈（0， (3)/(2) ），
则当cosC= (3)/(6) 时，S ² +T ² 有最大值 (7)/(8) ．