证明：凸四边形ABCD有内切圆的充要条件是AB+CD=AD+BC

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设内切圆圆心为M,半径为R,过点M分别向AB,BC,CD,DA作垂线,垂足分别为A'B'C'D'
连结PA,由于
PA'=PD'=R 角PA'A=角PD'A=90度
所以
三角形AA'P和三角形AD'P相似,即AA'=AD'
同理,
BA'=BB' B'C=CC' C'D=DD'
又由于,
AA'+A'B=AB BB'+B'C=BC CC'+C'D=CD DD'+D'A=AD
所以AB+CD=AD+BC
命题得证

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