如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆．（1）如图1，若CP与⊙B相切，求AP的长；（2）如图2，若经过点P的圆的切线与线段BC相交

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆．
（1）如图1，若CP与⊙B相切，求AP的长；
（2）如图2，若经过点P的圆的切线与线段BC相交于点F，与DC的延长线相交于点E，设AP=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若经过点P的⊙B切线与直线BC相交于点F，当CF=2时，求AP的长．

Answer 1

（1）AP的长抛物线和直线的解析式；
设AP=x，则BP=√(9+x2)，CP=√(9+(10−x)2)，9+x²+9+（10-x）²=100，
解得x为1或9，则AP的长为1或9．

（2）如图2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，则有
(AB)/(PD)＝(AP)/(ED)，即(3)/(10−x)＝(x)/(3+y)，
∴y=-(1)/(3)x²+(10)/(3)x-3（1＜x＜9）．

（3）情况一：当1＜AP＜9时，AP=4±√(7)；
情况二：当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3√(3)；
综上所述：AP的长为4±√(7)或6-3√(3)．