已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：CE=AG；②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE

Question

已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：CE=AG；
②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数；
（2）如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，直接写出 (S△ABF)/(S△ACF)=___．

Answer 1

（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形，
则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA，
∵AD⊥BN，∠MBN=30°，
∴∠BFD=∠AFG=60°，
∵∠ABF+∠BAF=60°，
∠BAF+∠EAC=60°
∴∠EAC=∠GBA
在△GBA与△EAC中，

∠GBA=∠EAC

AB=CA

∠GAB=∠ECA

，
∴△GBA≌△EAC，
∴CE=AG；
②如图1，取BF的中点K连接AK，
∵BF=2AF，
∴AF=BK=FK=(1)/(2)BF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴∠FAK=∠FKA，
∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，
∵∠BFD=60°，
∴∠AKF=(1)/(2)∠BFD=30°，
∵△GBA≌△EAC，
∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，
∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，
在△GAK与△EFC中，

AG=CE

∠AGB=∠AEC

KG=FE

，
∴△GAK≌△EFC，
∴∠CFE=∠AKF，
∴∠CFE=∠AKF=30°；

（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，
∵∠BFE=∠BAC，
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，
∴∠EAC=∠FBA，
在△ABK与△ACF中，

AB=AC

∠ABK=∠FAC

BK=AF

，
∴△ABK≌△AFC，
∴S_△ABK=S_△ACF，∠AKB=∠AFC，
∵∠BFE=2∠CFE，
∴∠BFE=2∠AKF，
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，
∴∠AKF=∠KAF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴AF=FK，
∴BK=AF=FK，
∴S_△ABK=S_△AFK，
∵S_△ABF=S_△ABK+S_△AFK=2S_△ABK=2S_△ACF，
∴(S△ABF)/(S△ACF)=(1)/(2)．
故答案为：(1)/(2)．