用100条直线最多能把1个圆分成多少份?要写出规律（有两种,都要写出来）

Question

用100条直线最多能把1个圆分成多少份?要写出规律（有两种,都要写出来）

Answer 1

第一种解法 （直接理解）
第一条直线把圆分为2份,第二条直线与第一条相交,比原来多出2份,第三条直线与前两条都相交,又多出3份.那么,第N条直线与前N-1条直线都相交,又多出N份.现在是100条直线,第100条直线与前99条直线都相交,又多出100份,逐条增加值相加,则有
2 + 2 + 3 + 4+ 5+ .+ 99 + 100 =5051
第二种解法（数列原理）
设n条直线最多把一个圆分成的份数为An,则A1=2,第n条直线与前n-1条直线都相交,最多又多分出n份,那么An=A(n-1)+n,所以
An - A(n-1)=n
A(n-1)-A(n-2)=n-1
A(n-2)-A(n-3)=n-2
.
.
A3 - A2 = 3
A2- A1 = 2
以上各式相加,得到An - A1=n+(n-1)+(n-2)+.+3+2
An =n+(n-1)+(n-2)+.+3+2+2=1+n(n+1)/2
当n=100时,A100=5051