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设有二元函数f（x，y）=x2，|x|+|y|≤11x2+y2，1＜|x|+|y|≤2，计算二重积分∫∫Df（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}．
题目详情
设有二元函数f（x，y）=
，计算二重积分
f（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}．
|
| ∫∫ |
| D |
▼优质解答
答案和解析
∵被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称
∴
f(x，y)dσ＝4
f(x，y)dσ
其中D1 是D在第一象限内的部分
f(x，y)dσ＝
x2dσ+
dσ
=
dx
x2dy+(
dx
dy)+
dx
dy
=
+
ln(1+
)
∴
f(x，y)dσ＝
+4
ln(1+
)
∴
| ∬ |
| D |
| ∬ |
| D1 |
其中D1 是D在第一象限内的部分
| ∬ |
| D1 |
| ∬ |
| x+y≤1 |
| ∬ |
| 1≤x+y≤2 |
| 1 | ||
|
=
| ∫ | 10 |
| ∫ | x0 |
| ∫ | 10 |
| ∫ | 2−x1−x |
| 1 | ||
|
| ∫ | 21 |
| ∫ | 2−x0 |
| 1 | ||
|
=
| 1 |
| 12 |
| 2 |
| 2 |
∴
| ∬ |
| D |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
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