设0＜R＜1，则二重积分设0＜R＜1，则二重积分I=∬x2+y2≤R2ex2+y21+xydσ等于（）A．4∬x2+y2≤R2x＞0，y＞0ex2+y21+xydσB．2∬x2+y2≤R2x＞0ex2+y21+xydσC．4∬x2+y2≤R2x＞0，y＜0ex2+y21+xydσD．0

Question

设0＜R＜1，则二重积分设0＜R＜1，则二重积分I=

∬

x2+y2≤R2

(ex2+y2)/(1+xy)dσ等于（　　）

A．4

∬

x2+y2≤R2

x＞0，y＞0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ
B．2

∬

x2+y2≤R2

x＞0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ
C．4

∬

x2+y2≤R2

x＞0，y＜0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ
D．0

Answer 1

由于积分区域D：x²+y²≤R²，0＜R＜1，被积函数f(x，y)＝(ex2+y2)/(1+xy)
显然，f（x，y）＞0，（x，y）∈D，因此二重积分I=

∬

x2+y2≤R2

(ex2+y2)/(1+xy)dσ＞0，故排除D．
又被积函数f（x，y）既不是关于x的奇函数或偶函数，也不是关于y的奇函数或偶函数
∴I=

∬

x2+y2≤R2

(ex2+y2)/(1+xy)dσ≠4

∬

x2+y2≤R2

x＞0，y＞0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ，
I=

∬

x2+y2≤R2

(ex2+y2)/(1+xy)dσ≠4

∬

x2+y2≤R2

x＞0，y＜0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ
故A、C错误
而被积函数f(x，y)＝(ex2+y2)/(1+xy)＝f(−x，−y)，即关于原点对称，且积分区域D也是关于原点对称的
∴根据二重积分得对称性定理，得
I=

∬

x2+y2≤R2

(ex2+y2)/(1+xy)dσ=2

∬

x2+y2≤R2

x＞0

(ex2+y2)/(1+xy)dσ
故B正确
故选：B