设D={（x，y）|x2+y2≤R2，R＞0}，则二重积∬D(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值（）A．为零B．为正C．为负D．当λ＞0时为正，当λ＜0时为负

Question

设D={（x，y）|x²+y²≤R²，R＞0}，则二重积

∬

D

(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值（　　）

A．为零
B．为正
C．为负
D．当λ＞0时为正，当λ＜0时为负

Answer 1

∵=x=rcosθ，y=rsinθ，rdrdθ=dxdy
∴

∬

D

(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ=

∫∫

D

(eλx−eλy)dxdy
由于积分区域D是关于直线y=x对称的，且被积函数f（x，y）=e^λx-e^λy在有界闭区域D上连续
∴由二重积分的轮换对称性，得

∫∫

D

(eλx−eλy)dxdy=

∫∫

D

(eλy−eλx)dxdy
即

∫∫

D

eλxdxdy=

∫∫

D

eλydxdy
∴

∫∫

D

(eλx−eλy)dxdy＝0
故选：A．