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设D={(x,y)|x2+y2≤R2,R>0},则二重积∬D(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值()A.为零B.为正C.为负D.当λ>0时为正,当λ<0时为负
题目详情
设D={(x,y)|x2+y2≤R2,R>0},则二重积
(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值( )
A.为零
B.为正
C.为负
D.当λ>0时为正,当λ<0时为负
∬ |
D |
A.为零
B.为正
C.为负
D.当λ>0时为正,当λ<0时为负
▼优质解答
答案和解析
∵=x=rcosθ,y=rsinθ,rdrdθ=dxdy
∴
(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ=
(eλx−eλy)dxdy
由于积分区域D是关于直线y=x对称的,且被积函数f(x,y)=eλx-eλy在有界闭区域D上连续
∴由二重积分的轮换对称性,得
(eλx−eλy)dxdy=
(eλy−eλx)dxdy
即
eλxdxdy=
eλydxdy
∴
(eλx−eλy)dxdy=0
故选:A.
∴
∬ |
D |
∫∫ |
D |
由于积分区域D是关于直线y=x对称的,且被积函数f(x,y)=eλx-eλy在有界闭区域D上连续
∴由二重积分的轮换对称性,得
∫∫ |
D |
∫∫ |
D |
即
∫∫ |
D |
∫∫ |
D |
∴
∫∫ |
D |
故选:A.
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