（年上海卷理）（本题满分16分）已知双曲线设过点的直线l的方向向量（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程

Question

（年上海卷理）（本题满分16分）   

 已知双曲线 设过点 的直线l的方向向量      

（1）       当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离；

（2）       证明：当 > 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 。

Answer 1

，

解析:

（1）解  双曲线 C 的渐近线

        直线 l 的方程

        直线 l 与 m 的距离  

（2）证明  方法一设过原点且平行与 l 的直线

则直线 l 与 b 的距离

当              

又双曲线 C 的渐近线为   

双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方，

双曲线 右支上的任意点到直线 的距离为 。

故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 。

（2）方法二  双曲线 的右支上存在点 到直线 的距离为 ，

则

由（1）得，  

设         

当 ， 0

将    代入（2）得        （*）

方程（*）不存在正根，即假设不成立            

故在双曲线 C 的右支上不存在 Q ，使之到直线 l 的距离为