已知函数f（x）=x-a(x+a)2，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）<f（x1），则满足条件的实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）= (x-a)/((x+a)2)，若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）<f（x₁），则满足条件的实数a的取值范围是___．

Answer 1

对于定义域内的任意x₁ 总存在x₂使得f（x₂）1），即为f（x）在x≠-a处无最小值；
①a=0时，f（x）=(1)/(x)无最小值显然成立；
②a>0时，f（x）的导数为f'（x）=(3a-x)/((x+a)2)，可得f（x）在（-∞，-a）上递减，在（-a，3a）上递增，在（3a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极大值；
当x>a时，f（x）>0；x<a时，f（x）<0．取x₁<a，x₂≠-a即可；
当x<-a时，f（x）在（-∞，-a）递减，且x₁<x1+(1)/(2)|x1+a|<-a，
f（x₁）>f（<x1+(1)/(2)|x1+a|），故存在x₂=x₁+(1)/(2)|x₁+a|，使得f（x₂）<f（x₁）；
同理当-a<x₁<a时，令x₂=x₁-(1)/(2)|x₁+a|，使得f（x₂）<f（x₁）也符合；
则有当a>0时，f（x₂）<f（x₁）成立；
③当a<0时，f（x）在（-∞，3a）上递减，在（3a，a）上递增，在（-a，+∞）上递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，
当x>a时，f（x）>0； x<a时，f（x）<0．
f（x）_min=f（3a），当x₁=3a时，不存在x₂，使得f（x₂）<f（x₁）成立．
综上可得，a的取值范围是：[0，+∞）
故答案为：a≥0．