设两随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=k(x+y)，0＜y＜x＜10，其它.，求：（Ⅰ）常数k的值；（Ⅱ）（X，Y）的边缘密度fX（x）和fY（y）；（Ⅲ）条件密度fY|X（y|x）和fX|Y（x|y）；（Ⅳ）P

Question

设两随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

k(x+y)，0＜y＜x＜1

0，其它.

，求：
（Ⅰ）常数k的值；
（Ⅱ） （X，Y）的边缘密度f_X（x）和f_Y（y）；
（Ⅲ）条件密度f_Y|X（y|x）和f_X|Y（x|y）；
（Ⅳ）P{X+Y≤1}的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

k(x+y)，0＜y＜x＜1

0，其它.

∴1＝

∫∫

D

f(x，y)dxdy＝

∫

1 0

dx

∫

x 0

k(x+y)dy=k

∫

1 0

(x2+(1)/(2)x2)dx＝(k)/(2)
∴k=2．
（Ⅱ）∵f（x，y）=

2(x+y)，0＜y＜x＜1

0，其它.

∴X的边缘密度fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy＝

∫

2 0

2(x+y)dy＝3x2，0＜x＜1

0，其它.

Y的边缘密度fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx＝

∫

1 1−y

2(x+y)dx＝1+2y−3y2，0＜y＜1

0，其它.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知0＜x＜1时f_X（x）≠0，
∴0＜x＜1时，fY|X(y|x)＝(f(x，y))/(fX(x))＝

(2(x+y))/(3x2)，0＜y＜x

0，其它.

同理0＜y＜1时f_Y（y）≠0，
∴0＜y＜1时，fX|Y(x|y)＝(f(x，y))/(fY(y))＝

(2(x+y))/(1+2y−3y2)，y＜x＜1

0，其它.

（Ⅳ）由（X，Y）的概率密度为f（x，y），知
P{X+Y≤1}=

∫∫

x+y≤1

f(x，y)dxdy=

∫∫

x+y≤1，0＜y＜x＜1

2(x+y)dxdy=

∫

(1)/(2) 0

dy

∫

1−y y

2(x+y)dx＝(1)/(3)．