设随机变量X~N(0,1),则E（X2）,E（X3）,E（X4）等于多少?如何求得?

Question

设随机变量X~N(0,1),则E（X2）,E（X3）,E（X4）等于多少?如何求得?

Answer 1

第一种方法就是直接计算：



X^2的期望用它与X期望和方差的关系可以直接求出来
X^3的期望是0因为X的分布是关于0对称的
X^4的期望要用到X^2服从卡方分布这个信息.X^2服从自由度为1的卡方分布,期望是1,方差是2.代入公式就好.这两个数也可以根据期望和方差的定义利用积分算的.


另外一种方法是利用矩生成函数算.标准正态分布的矩生成函数是e^{0.5 t^2}.E(X^p)就是矩生成函数的p次导数在0点的值.具体步骤如下：

所以两种方法算出来的结果是一样的.