选修4-5：不等式选讲已知函数x＞0，y＞0，z＞0，求证：（Ⅰ）x3+y3≥x2y+xy2；（Ⅱ）x3+y3+z3≥x2•yz+y2•xz+z2•xy．

Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数x＞0，y＞0，z＞0，求证：
（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；
（Ⅱ）x³+y³+z³≥x²•√(yz)+y²•√(xz)+z²•√(xy)．

Answer 1

证明：（Ⅰ）x³+y³-x²y-xy²=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）…（2分）
∵x＞0，y＞0，（x-y）²≥0，…（4分）
∴x³+y³≥x²y+xy²；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）x³+y³≥x²y+xy²；同理z³+y³≥z²y+zy²；x³+z³≥x²z+xz²，…（6分）
∴2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（z+x）+z²（x+y）≥2（x²•√(yz)+y²•√(xz)+z²•√(xy)）．
∴x³+y³+z³≥x²•√(yz)+y²•√(xz)+z²•√(xy)． …（10分）