设矩阵A=（aij）3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为（）A.33B.3C.13D.3

Question

设矩阵A=（a_ij）_3×3满足A^*=A^T，其中A^*是A的伴随矩阵，A^T为A的转置矩阵.
若a₁₁，a₁₂，a₁₃为三个相等的正数，则a₁₁为（　　）
A. (√(3))/(3)
B. 3
C. (1)/(3)
D. √(3)

Answer 1

由：A^*=A^T及AA^*=A^*A=|A|E，
∴AA^T=|A|E…①
而：|A|=|A^T|，A=（a_ij）_3×3，
于是，对①两边取行列式得：|A|²=|A|³，
则：|A|=0或|A|=1，
由于：A^*=A^T，则：a₁₁=A₁₁，a₁₂=A₁₂，a₁₃=A₁₃，
由a₁₁，a₁₂，a₁₃为三个相等的正数，并且：|A|=a₁₁×A₁₁+a₁₂×A₁₂，+a₁₃×A₁₃，
可知：
|A|＝

a

2 11

+

a

2 12

+

a

2 13

＝3

a

2 11

≠0，
从而：|A|=1，且a11＝(√(3))/(3)，
故选：A．