如图，一次函数y=-34x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，

Question

如图，一次函数y=-(3)/(4)x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．

（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P的坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程）

Answer 1

（1）当x=0时，y=6，
当y=0时，x=8，
则A（0，6），B（8，0），
AB=10，
设点P的坐标为（m，-(3)/(4)m+6），
∵△OPA的面积为12，
∴(1)/(2)×6×|m|=12，
解得：m=±4，
∴点P的坐标为（-4，9）或（4，3）．
（2）由题意可知BP=t，AP=10-t，
当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．
①当AP=AO时，则有10-t=6，可解得t=4；
②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；
③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，

则AN=(1)/(2)AP=(1)/(2)（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴(PB)/(PH)=(AB)/(AO)，即(t)/(PH)=(10)/(6)，
∴PH=(3)/(5)t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴(PB)/(AO)=(PH)/(AN)，即(t)/(6)=((3)/(5))/((1)/(2)(10-t))，解得t=(14)/(5)．
综上可知当t的值为4、5和(14)/(5)时，△AOP为等腰三角形．